LA LINEA RECTA: 2012

miércoles, 10 de octubre de 2012

Pendiente y ángulo de inclinación

Consideramos como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.

Por ejemplo:

Dicha noción representa una pieza crucial, para algunas condiciones que se puedan presentar en un fenómenos naturales o producidos. Tal es el caso de la construcción de un puente que disponga de múltiples vías. Es necesario conocer la pendiente de una vía con respecto a otra para evitar una mala construcción del mismo.

Esta misma analogía podría ser ubicada en la comodidad del hogar, en las esquinas de las habitaciones. Si suponemos querer tener una habitación en la que la edificación de los cuartos cuadre es necesario, de cierta manera conocer a que ángulos inclinación estan dictadas las paredes.

Pues podría generarse una situación de una mala edificiación lo cual repercutiría en unos cuartos mal construidos. Todo estos detalles muy importantes para poder llevar un trabajo adelante.

Es por ello, que dicha noción debe ser tomada con seriedad pues uno nunca se imagina en la situación que podría ser útil.

La determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor, es realizado bajo el contexto de la trigonometría por medio de la (Tangente y su función inversa) o bien a través del analísis vectorial.. Ambos caminos conduciendonos al mismo resultado.

En esta ocasión nos limitaremos al (Caso de la trigonometría), pues el otro caso sugiere concepciones de otros objetos aún no presentados o conocidos por muchas personas. Motivo por el cual se toma la consideración anterior.

Ahora bién, supongamos que tenemos un segmento (Horizonte) cuya longitud es de 2 metros y poseemos una altura de 4 metros del segmento (Horizonte) a el segmento distante y no conocemos la longitud del (Segmento distante).

Y por supuesto deseamos conocer el (valor del ángulo) comprendido entre estos 2 segmentos.. Entonces tendríamos una escenario similar a éste:

Para ello empleamos un poco de trigonometría utilizando la razón (Tangente) seguido de la ejecución de la función (Tangente inversa) para determinar el correspondiente ángulo, como se muestra en la imagen.

Suponiendo que podemos referenciar un marco, donde es posible establecer la distancia entre un segmento u otro.. Y que por extraña razón no conocemos el valor de un segmento, lo cual fuera ilógico deduciendo que pudimos establecer una altura..

Y por consiguiente debemos conocer la longitud del (segmento distante) ya que de no ser así no hubiera sido posible deducir un punto de donde fijar la altura que contemplamos.

Todo ello por supuesto considerando que el entorno, genera los elementos necesarios para la utilización de las razones trigonometrícas osea exista un triángulo rectángulo en él. Ya que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.

Por el camino del (Analísis vectorial) se sugiere además de la noción de razones trigonometrícas, el conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de un (Sistema de coordenadas)..

En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como (Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad. Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos otros objetos más complejos.

Como se muestra, en la imagen:

Esta noción es la asociación común de la razón trigonometríca (Tangente) a un ámbito de continuidad.

La determinación en el caso de la recta unicamente consiste en tomar dos coordenadas de la recta evaluarlas de acuerdo al cociente indicado en la imagen y listo!, Constatando que en una recta la pendiente siempre es constante por lo tanto no implica un reto de determinación, pero la pendiente de una curva no es del todo sencilla de determinar..

De ello se encarga el cálculo diferencial, como más adelante se observará.

martes, 9 de octubre de 2012

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si y solo sí sus pendientes son iguales.

Ejemplos:

Rectas Perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si y sólo sí sus pendientes son inversas y opuestas.

Ejemplo:En lenguaje matemático la condición para que dos rectas sean paralelas se expresa así:
“Dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si, sus pendientes m1 y m2 son iguales.”

lunes, 8 de octubre de 2012

Determinación de la ecuación de la recta

Como ya hemos dicho una recta en el plano puede estar determinada de distintas maneras, en este capitulo veremos alguna de ellas.

Sabiendo un punto y su pendiente.
Conociendo un punto y su dirección.
Conociendo dos de sus puntos.
Con su pendiente y la intersección con el eje OY (ordenada en el origen)
Conociendo los valores de sus intersecciones con los ejes coordenados.

La forma mas fácil para encontrar la ecuación de una recta es conociendo uno de sus puntos P(x₀,y₀) y su pendiente m.

Basta recurrir a la expresión punto-pendiente y-yo=m(x-x₀)

Ecuación de una recta cuando conocemos uno de sus puntos P(x₀,y₀₎ y su dirección

La dirección del vector

nos da la pendiente de la recta

lo que nos lleva al caso anterior

Ecuación de una recta cuando conocemos dos de sus puntos P(x₀,y₀) y Q (x₁,y₁)

El vector

es un vector direccional de la recta y tiene de componentes (x₁-x₀,y₁-y₀) y su pendiente será

Si conocemos su pendiente m y su coordenada en el origen (0,n), basta sustituirlas en la forma punto-pendiente y-n=mx → y=mx+n

domingo, 7 de octubre de 2012

Ecuación de la recta en la forma normal

$\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2 + B^2}}=0$

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

[.]Rectas notables

La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general $y = y_h$ (constante).La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general $x = x_v$ (constante).

Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: $y = (m)(x)\;$ .

Dos rectas cualesquiera:

$y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ n_1 \!$

$y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ n_2 \!$

serán paralelas si y solo si $m_1 = m_2\;$ . Además, serán coincidentes cuando: $n_1 = n_2\;$

serán perpendiculares si y sólo si $m_1 = -1/ m_2\;$ , es decir: $(m_1)(m_2) = -1 \;$

[.]Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto $(x_0, y_0) \,$ .

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

$y = m x + b \,$

Y ha de pasar por el punto $(x_0, y_0) \,$ , luego tendrá que cumplirse:

$y_0 = m x_0 + b \,$

Despejando b, tenemos esta ecuación:

$b= y_0 - m x_0 \,$

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

$y = m x + (y_0 - m x_0) \,$

Ordenando términos:

$y = m (x- x_0) + y_0 \,$

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_0, y_0)$ , el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

sábado, 6 de octubre de 2012

Forma polar de la ecuación de la recta

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo $r$ como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( $r$ (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función $r$ .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar $r$ . Si $r$ (−θ) = $r$ (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si $r$ (180°−θ) = $r$ (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si $r$ (θ−α°) = $r$ (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

[.]Circunferencia

Un círculo con ecuación $r$ (θ) = 1.

La ecuación general para una circunferencia con centro en ( $r$ ₀, φ) y radio $a$ es

$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\,$

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:⁸

$r(\theta)=a \,$

[.]Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

$\theta = \varphi \,$

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan $m$ donde $m$ es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( $r$ ₀, φ) tiene la ecuación

$r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi). \,$

[.]Rosa polar

Una rosa polar con ecuación $r$ (θ) = 2 sin 4θ.

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

$r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,$

para cualquier constante $\phi_0$ (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo $[0,2\pi) \,$ para $\theta \,$ , la gráfica de la ecuación:

$r(\theta) = |a \sin ({k\over2} \theta + \phi_0)|\,$

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural $k \,$ . Y si $k=0 \,$ , la gráfica es una circunferencia de radio $r = |a \sin (\phi_0)| \,$

[.]Espiral de Arquímedes

Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

$r(\theta) = a+b\theta. \,$

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

[.]Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

$r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}$

donde e es la excentricidad y $\ell$ es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define unaparábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio $\ell$ .