LA LINEA RECTA

viernes, 5 de octubre de 2012

Ángulo de intersección entre dos rectas

La intersección entre dos rectas representa la solución del sistema de ecuaciones que conforman las fórmulas de esas rectas. Ej:

R1: 2x + 3y = 5

R2: 4x + 2y = 8

Existen dos maneras de resolver y encontrar el valor de ese punto solución. Una es de la manera gráfica, que es graficando aquellas rectas. La otra es de la manera algebráica, que tiene diversos métodos. Te digo el que más me acomoda a mí, por reducción.

En éste, lo que se busca es eliminar una de las incógnitas (x o y), para lo cual amplificas:

R1: 2x + 3y = 5 /*2 => 4x + 6y = 10

R2: 4x + 2y = 8 /*(-1) =>-4x - 2y = - 8

-----------------------

4y = 2

y = 1/2

Uso el valor de y para encontrar el de x, reemplazando en cualquiera de las dos rectas:

R2: 4x + 2*(1/2) = 8

4x + 1 = 8

4x =7

x = 7/4

Entonces el punto de intersección de las dos rectas es (7/4;1/2) y es, a la vez, la solución del sistema de ecuaciones dado.

jueves, 4 de octubre de 2012

Familia de rectas

Familia de línea recta:

La ecuación de la recta queda determinada completamente si se
conocen dos condiciones independientes, por ejemplo, dos de sus puntos ó uno de sus
puntos y su pendiente.
Una recta cumple solo una condición, no es una recta única, por lo que existe una
infinidad de rectas que satisfacen dicha condición y tiene una propiedad en común.
Por lo tanto la totalidad de las rectas que cumplen con una única condición geométrica
se denominan “familia de rectas”.
Si consideramos a todas las rectas cuya pendiente es 7, la totalidad de ellas forman una
familia de rectas paralelas y que tienen como propiedad común que su pendiente es 7.
Al aplicar la ecuación pendiente y ordenada en el origen se tiene lo siguiente:
Y=mx+b
Y=7x+b
Y=7x+k
K= constante arbitraria que se le asigna cualquier valor real. En la ecuación k representa
el segmento que la recta determina sobre el eje “y”.
Al tomar “k” un valor particular se obtiene la ecuación de las rectas que forman una
familia; por ejemplo: determinar las familias de rectas que es (0, 2) y (-3)
despectivamente.
Y=7x+k
Y=7x+0
7x-y=0
Si consideramos todas las rectas que pasan por el punto A (-4, 3), si se aplica la
ecuación punto y pendiente de la recta tenemos:
A (-4, 3) y-y1=m(x-x1)
Y-y1=k (&-&1)
Y-3=k(x-(-4))
Y-3=k (&+4)

miércoles, 3 de octubre de 2012

Aplicación de la forma normal de la ecuación de la recta

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

Hallar la ecuación normal de la recta r ≡ 12x - 5y +26 = 0.
ecucación normal

Otra forma de expresar la ecuación normal de la recta es:

EjemploHallar la ecuación de una recta perpendicular al segmento de extremos A(5, 6) y B(1,8) en su punto medio.

Este vector es perpendicular a la recta buscada.
ecuación normal

martes, 2 de octubre de 2012

Puntos y rectas notables de los triángulos

Las rectas y puntos notables de un triángulo $ABC$ son:

las mediatrices, $m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}$ , que se cortan en un punto llamado circuncentro $C$ ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, $n_A ,n_B , n_C$ , que se cortan en el baricentro, $B$ , centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, $b_A ,b_B , b_C$ , que se cortan en el incentro $I$ , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, $h_A ,h_B , h_C$ , que se cortan en el ortocentro, $O \$ .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ obtenemos el triángulo $MPN \$ que tiene el mismo baricentro que $ABC$ y sus medianas miden la mitad que las de $ABC$ .

Además los lados de $MPN \$ miden la mitad que los lados de $ABC$ y la superficie de $MPN \$ es la cuarta parte de la superficie de $ABC$ , pues podemos comprobar que al trazar $MPN \$ se han definido otros tres triángulos iguales: $BMP, PCN y AMN$ .

Consideramos una mediana $AP$ . Si $B$ es el baricentro se cumple que $AB = 2BP$ .

Se cumple también que si se dibuja $BY$ , la mediana de la mediana $AP$ , ésta corta al lado $AC$ siendo: $ZC=2AZ$ .

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo $ABC$ se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro $I$ pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a $ABC$ .

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde $I$ a uno de ellos, por ejemplo al lado $c$ , obteniendo $Tc$ y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que $ATc=ATb, \ BTc=BTa$ y $CTa=CTb$ .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.